什么是庞加莱猜想?

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--Eva 2010年3月24日 (三) 17:10 (CST)

问题具体描述:庞加莱猜想是什么?能不能通俗的描述下。


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介绍

什么是庞加莱猜想:庞加莱猜想是法国数学家庞加莱在1904年提出的。其内容是:

  • “单连通的三维闭流形同胚于三维球面。”它后来被推广为:“任何与n维球面同伦的n维闭流形必定同胚于n维球面。”
  • 简单的说就是:任何一个封闭的三维空间,只要它里面所有的封闭线条都可以收缩成一点,这个空间就一定是一个三维圆球。如果一个封闭空间中所有的封闭曲线都可以收缩成一点,那么这个空间一定是三维圆球。

描述

如果你认为以上这个说法太抽象的话,我们不妨做这样一个想象

  想象一个球状房子,或者,想象一只巨大的足球,里面充满了气,我们钻到里面看,这就是一个球形的房子。

  不妨假设这个球形的房子墙壁是用钢做的,非常结实,没有窗户没有门,我们现在在这样的球形房子里。拿一个气球来,带到这个球形的房子里。随便什么气球都可以。这个气球不是瘪的,而是已经吹成某一个形状,什么形状都可以(对形状也有一定要求)。但是这个气球,我们还可以继续吹大它,而且假设气球的皮特别结实,肯定不会被吹破。还要假设,这个气球的皮是无限薄的。

  现在继续吹大这个汽球,一直吹。吹到最后会怎么样呢?庞加莱先生猜想,吹到最后,一定是汽球表面和整个球形房子的墙壁表面紧紧地贴住,中间没有缝隙。

我们还可以换一种方法想想:如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带,那么我们可以既不扯断它,也不让它离开表面,使它慢慢移动收缩为一个点;

  另一方面,如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上,那么不扯断橡皮带或者轮胎面,是没有办法把它收缩到一点的。

  为什么?因为,苹果表面是“单连通的”,而轮胎面不是。

  看起来这是不是很容易想清楚?但数学可不是“随便想想”就能证明一个猜想的,这需要严密的数学推理和逻辑推理。一个多世纪以来,无数的科学家为了证明它,绞尽脑汁甚至倾其一生还是无果而终。

补充

庞加莱猜想的证明意义重大。该猜想的证明,凝结了中国五六个科学家的贡献,是人类在三维空间研究角度解决的第一个难题,也是一个属于代数拓扑学中带有基本意义的命题,将有助于人类更好地研究三维空间,其带来的结果将会加深人们对流形性质的认识,对物理学和工程学都将产生深远的影响,甚至会对人们用数学语言描述宇宙空间产生影响。

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